Em 1829 foram publicados em russo os trabalhos de Lobatchevski, nos quais estava estruturada uma nova geometria com a substituição do quinto postulado de Euclides por outro, não equivalente, o que originou uma geometria diferente da euclidiana. Foi chamada pelo autor de geometria imaginária e depois passou a ser conhecida como geometria não-euclidiana hiperbólica.

O enunciado do quinto postulado da geometria de Lobatchevski é o seguinte: "As retas de um plano podem classificar-se em dois grupos em relação a uma dada reta do mesmo plano: o grupo das que interceptam e o grupo das que não interceptam essa reta dada. As retas limites desses grupos chamam-se paralelos à reta dada." Exemplificando: seja a reta r e um ponto P, exterior a r. Passando por P imaginamos retas como s, t, u, v que interceptam r e outras retas x, y, z..., que não interceptam r. Ao separar os dois grupos, Lobachevski admitiu as retas m e n como paralelas a r.

Portanto, enquanto por um ponto exterior a uma reta na geometria euclidiana só se admite uma reta que não intercepta a reta dada, na geometria lobachevskiana há uma infinidade delas. Em outras palavras, enquanto na geometria elementar a soma de ângulos internos de um triângulo é igual a 180o, na geometria de Lobachevski essa soma é menor que 180o.

Sem conhecer os trabalhos do geômetra russo, o húngaro János Bolyai tinha chegado a conclusões análogas sobre a possibilidade de estruturar uma nova geometria sem contradição lógica. Na mesma época, Gauss escreveu cartas em que relata ter chegado a conclusões semelhantes. Assim, a honra da criação da geometria não-euclidiana está dividida entre esses três matemáticos.

Em 1854, Riemann apresentou ao mundo uma segunda geometria não-euclidiana, conhecida como geometria elíptica, na qual se admite que "por um ponto exterior a uma reta não se pode traçar nenhuma paralela a ela" ou que "a soma dos ângulos internos de um triângulo é maior que 180o."

As geometrias não-euclidianas foram criadas sem preocupação com o mundo real, de modo abstrato, portanto, sem visar a uma finalidade prática. Entretanto, com a conceituação de curvatura de superfície, dada por Gauss, pode-se dizer que nas superfícies de curvatura nula (plano e superfícies planificáveis) é possível estabelecer uma geometria nos moldes da euclidiana; nas superfícies de curvatura constante e positiva (superfície esférica) verifica-se a geometria de Riemann, onde a reta euclidiana é substituída pelo círculo máximo e o plano pela superfície esférica; nas superfícies de curvatura constante e negativa (pseudo-esfera) aplica-se uma geometria do tipo de Lobachevski.

Veja também:
Aplicações da Geometria Analítica
Geometria Analítica
Geometria Descritiva