Matemática é a ciência que estuda as propriedades de entes abstratos, pelo emprego do raciocínio dedutivo. Originalmente voltou-se para o estudo das propriedades dos números e figuras geométricas e das relações que se estabelecem entre eles. Divide-se grosso modo em matemática pura -- raciocínio abstrato baseado em axiomas -- e aplicada -- que envolve o uso da matemática em outros campos do conhecimento, como a física, química, astronomia, engenharia, economia etc. As principais divisões da matemática pura são a álgebra e a geometria.

Os estudos sobre as sociedades primitivas mostram que as primeiras noções matemáticas e símbolos numéricos surgiram como abstrações da operação de contar e progrediram principalmente em áreas de civilização urbana com condições econômicas evoluídas. Tradicionalmente, divide-se a história da matemática em cinco períodos: (1) dos primórdios até a época dos babilônios e egípcios; (2) o período grego; (3) a Idade Média e o Renascimento; (4) os séculos XVII e XVIII; e (5) os séculos XIX e XX. As maiores contribuições matemáticas da antigüidade são atribuídas às civilizações mesopotâmica e grega, enquanto as culturas egípcia e romana se limitaram a aperfeiçoar as técnicas de medida e a prática aritmética.

A matemática babilônica se baseava na utilização de um sistema de numeração evoluído, que, como o atual, definia o valor relativo dos algarismos de acordo com sua posição. O método empregava equivalências sexagesimais (base sessenta) -- que permanecem na relação entre horas, minutos e segundos da medida de tempo -- em lugar do sistema decimal adotado na notação indo-arábica que se impôs em quase todo o mundo.

Os babilônios criaram as primeiras tábuas de informação e de cálculo destinadas a armazenar dados extraídos da observação astronômica e a prever, com o auxílio de artifícios simples, a futura disposição dos astros no firmamento. Os matemáticos babilônicos propagaram seus métodos e operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação etc.) às sociedades vizinhas a partir do segundo milênio da era cristã e deixaram testemunhos de sua sabedoria nas civilizações grega e alexandrina.

As principais fontes de informação concreta a propósito da matemática egípcia são dois papiros, o de Rhind, ou de Ahmés, e o de Golenishtchev, ambos datados aproximadamente do século XVI a.C.. O papiro de Rhind parece indicar que os egípcios, à semelhança dos babilônios, se dedicaram à solução de problemas práticos com o auxílio da matemática, sem chegarem, contudo, à generalização das soluções. Isso explica o fato de terem permanecido no terreno da aritmética e de não terem incursionado pela álgebra.

O sistema egípcio de numeração era decimal e empregava desenhos de linhas verticais para representar as unidades, além de outros símbolos para indicar dezenas, centenas etc. As exigências da vida cotidiana impulsionaram o estudo da geometria no Egito, muito especialmente em razão da necessidade de restaurar marcos divisórios de terra destruídos pelas periódicas inundações do rio Nilo. Esses estudos não progrediram, no entanto, para além da geometria das superfícies e de um esboço da geometria dos sólidos.

De inspiração mais filosófica e menos voltada para exigências práticas, a matemática formulada pelos gregos ganhou caráter de ciência abstrata, com bases metodológicas que estruturaram e sistematizaram seu estudo. As escolas filosóficas dos séculos VII e VI a.C., inspiradas no pensamento de Pitágoras e herdeiras diretas do conhecimento oriental, possuíam, no entanto, um sentido mágico da existência que obscurecia em parte suas grandes conquistas científicas.

Após um período de notáveis descobertas em geometria e aritmética -- em que brilharam matemáticos como Hipócrates, Heron de Alexandria e Diofanto de Alexandria -- Euclides, por volta de 300 a.C., realizou um exaustivo trabalho de compilação e interpretação das doutrinas matemáticas gregas nos Elementos, cuja influência permaneceu até a modernidade européia. Foi na Grécia que a geometria tornou-se uma ciência abstrata, com a feição dedutiva que hoje a caracteriza, e que surgiu pela primeira vez a preocupação de estabelecer relações entre as diferentes partes de uma figura (lados e ângulos de um triângulo, por exemplo).

A escrita numeral grega não trouxe novidades especiais com relação às anteriores, embora utilizasse prefixos de numeração que se conservam atualmente: "penta" (cinco), "deca" (dez), "hecaton" (cem), "quilo" (mil) etc. Além disso, a primeira tábua de cálculo conhecida é a de cordas, contida no Almagesto de Ptolomeu, obra que data do século II da era cristã e que exibe o valor das cordas de um círculo em intervalos de meio grau.

Os romanos pouco contribuíram para o progresso da matemática, mas sim para sua divulgação. Por intermédio deles, os conhecimentos da antiguidade chegaram à Europa medieval. O uso do sistema numérico romano se disseminou por todo o Ocidente como conseqüência da preponderância militar e econômica de Roma. Como símbolos básicos, utilizaram-se as letras I (um), V (cinco), X (dez), L (cinqüenta), C (cem), D (quinhentos), e M (mil).

Costuma-se situar entre os séculos XII e XV o período durante o qual a Europa teve acesso ao conhecimento matemático produzido pelos árabes ou por eles difundido. A queda do Império Romano do Oriente levou a uma fuga dos sábios de Constantinopla para o Ocidente e pôs a Europa novamente em contato com a tradição cultural grega e com as obras originais de que se conheciam traduções árabes. Por volta do século XV, a Europa dominava as conquistas matemáticas alcançadas por gregos, hindus e muçulmanos. As principais contribuições indo-arábicas foram o sistema decimal de numeração -- que pela primeira vez incluía o zero -- e algumas descobertas relevantes no campo da trigonometria. A matemática indo-arábica fez largo uso das tábuas para o cálculo de valores trigonométricos, frações, raízes etc. A difusão desses conhecimentos deveu-se à invenção da imprensa e à criação das universidades.

O século XVII, período da revolução científica, assistiu à consolidação da astronomia heliocêntrica proposta em 1543 por Nicolau Copérnico e apoiada em descobertas de Galileu Galilei e Johannes Kepler. O modelo científico medieval, baseado nas idéias de Aristóteles, Euclides e Galeno, foi progressivamente substituído por modelos mais adequados à realidade científica daquele período. Acentuou-se entre os matemáticos a tendência a empregar iniciais ou abreviaturas de nomes completos das incógnitas e variáveis para simplificar as expressões matemáticas. Alguns acreditavam, no entanto, que a proliferação de símbolos empobrecia a linguagem e dificultava a comunicação.

René Descartes, no Discours de la méthode (1637; Discurso do método), lançou as bases da geometria analítica, que permite localizar pontos e medir a distância entre eles, por meio de pares de coordenadas. As noções sobre logaritmos sistematizadas por John Napier representaram grande progresso nas técnicas de cálculo, ao definir a operação inversa à potenciação.

Ainda no século XVII, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz inventaram um dos mais importantes instrumentos matemáticos aplicáveis à pesquisa científica: o cálculo infinitesimal, base do cálculo diferencial e integral que se desenvolveu posteriormente. Os tratados do suíço Leonhard Euler são a principal fonte de material sobre cálculo. Euler também é um dos fundadores de duas disciplinas matemáticas: o cálculo das variações -- extensão do cálculo em que uma função depende de outra função ou curva -- e a geometria diferencial -- aplicação do cálculo diferencial ao estudo das propriedades gerais de curvas e superfícies.

Durante a revolução francesa e o período napoleônico, surgiu na França uma nova geração de matemáticos, na qual sobressaíram-se Joseph-Louis Lagrange, Jean Le Rond d'Alembert, Pierre-Simon Laplace, Jean-Baptiste-Joseph Fourier e Pierre de Fermat. A geometria não euclidiana, criada por János Bolyai e Nicolai Lobatchevski, foi uma das mais importantes descobertas desse período. Em meados do século XIX, Bernhard Riemann introduziu a quarta dimensão nos estudos de geometria, o que influenciaria a formulação da teoria da relatividade, no século seguinte. Carl Friedrich Gauss deu contribuições notáveis para a teoria dos números, o cálculo das probabilidades, a teoria dos erros e para a matemática aplicada (em astronomia, geodésia e magnetismo).

Évariste Galois e Niels Henrik Abel formularam as teorias de grupos, funções e variáveis complexas, enquanto Karl Weierstrass, Richard Dedekind e Georg Cantor definiram, em 1872, os números irracionais. O século XX foi marcado por avanços no campo da topologia e por discussões sobre os fundamentos da matemática, estudados por Bertrand Russell, Alfred Whitehead, David Hilbert e Georg Cantor, entre outros.

Veja também:
Disciplinas da Matemática
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