Aplicações da Geometria Analítica

O conceito de coordenadas e, em particular, de coordenadas cartesianas, invadiu todos os domínios da matemática e das ciências aplicadas por meio da noção de gráfico de uma função. Atualmente, tais gráficos são modificados, corrigidos ou ampliados nas telas dos modernos computadores, tornando automática a análise de um tipo qualquer de função que admita representação gráfica.

Equação de uma reta

Num sistema de coordenadas cartesianas, uma linha reta pode ser representada por uma equação que estabeleça uma relação verdadeira para qualquer par de coordenadas que defina um ponto dessa reta. Por exemplo, todos os pontos de coordenadas (0, y) estão sobre o eixo das ordenadas (eixo dos y) e têm abscissa igual a zero. Assim, o eixo das ordenadas é uma reta definida pela equação x = 0. Da mesma maneira, o eixo das abscissas (eixo dos x) é uma reta definida pela equação y = 0.

Qualquer outra reta que passe pela origem do sistema cartesiano tem a razão entre x e y constante e pode ser definida pela equação y = mx, onde m é uma constante. A razão entre x e y também pode ser expressa pela equação ax + by = 0.

Qualquer reta pode ser representada por uma equação obtida da maneira que se descreve a seguir. Toma-se um ponto (x1, y1) da reta e, a partir dele, traça-se um novo par de eixos perpendiculares, paralelos aos eixos do sistema cartesiano, com a origem nas coordenadas (x1, y1). Se as coordenadas que dizem respeito a esse eixo são (x', y'), a equação da reta terá a forma já vista, mas agora com as novas variáveis substituindo as apresentadas, ou seja, ax' + by' = 0. Como x' = x - x1 e y' = y - y1, a equação da reta, em termos das coordenadas originais, é uma expressão linear geral igualada a zero que inclui um termo constante (c).

Tem-se, então, a equação:
a(x - x1) + b(y - y1) = 0
ou
ax + by + c = 0

Para verificar se um dado ponto P de coordenadas (x, y) está contido numa determinada reta, basta substituir as variáveis x e y da equação pelos valores das coordenadas de P. Se a igualdade for satisfeita, o ponto pertence à reta. Caso contrário, não pertence. Em outras palavras, a equação expressa a condição necessária e suficiente que um ponto de coordenadas (x, y) deve satisfazer para pertencer à reta que ela define.

A geometria analítica também permite verificar as condições de paralelismo, perpendicularismo e interseção de duas retas, cálculo da distância entre dois pontos, entre outras aplicações. Toda linha reta tem uma equação com a forma dada e toda equação com essa forma representa uma linha reta. As equações desse tipo, em que as potências de x e y são unitárias (iguais a um), são chamadas equações lineares ou de primeiro grau.

Cônicas

Uma superfície cônica é gerada por uma reta ao girar em torno a um eixo que a corta. A interseção das geratrizes desse cone de revolução com planos que não passem pelo seu vértice gera curvas conhecidas como seções cônicas. De acordo com o tipo de interseção, as superfícies cônicas podem ser: um círculo, se o plano for paralelo à base do cone; uma elipse, quando o plano corta todas as geratrizes do cone; uma parábola, quando o plano está paralelo a uma única geratriz; e uma hipérbole, quando está paralelo ao eixo e corta duas geratrizes.

Assim como as equações lineares representam uma reta, as equações de segundo grau de tipo Ax2 + Bxy~+ Cy2 + Dx~+ Ey~+ F~= 0 representam as cônicas. A, B, C, D, e E são constantes que definem uma cônica específica e dependem da excentricidade, da posição do foco e da diretriz. A equação geral mostra que uma cônica está completamente determinada quando se conhecem cinco de seus pontos. Dela podem ser deduzidas equações de elipses, parábolas ou hipérboles, dependendo de a excentricidade ser menor, igual ou maior que a unidade.

Essas curvas também podem ser definidas como lugares geométricos -- conjunto de pontos que satisfazem uma propriedade determinada -- e suas equações são obtidas a partir dessas definições. Para chegar às equações das cônicas, utilizam-se os processos básicos da geometria analítica para o cálculo da distância entre dois pontos, especialmente o teorema de Pitágoras sobre as relações entre os lados de um triângulo retângulo.

Círculo é o lugar geométrico dos pontos que são eqüidistantes de um ponto dado, chamado centro (C). Sendo C (a, b) o centro, e r o raio, a equação do círculo será (x~- a)2 + (y~- b)2 = r2

Elipse é o conjunto de pontos tais que a soma das distâncias de qualquer desses pontos a dois pontos fixos chamados focos é constante. Sua equação é:

onde a e b são os semieixos maior e menor da elipse. A excentricidade da elipse é definida por e é sempre menor que 1.

O lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença de distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante, chama-se hipérbole, cuja equação é

A hipérbole tem duas assíntotas -- curvas que se aproximam indefinidamente de uma reta -- cujas equações são .

A excentricidade da hipérbole define-se de forma análoga à da elipse, e nesse caso é sempre maior que 1.

A parábola é formada por todos os pontos eqüidistantes de um ponto, ou foco, e de uma reta chamada diretriz. A distância p entre o foco e a diretriz chama-se parâmetro da parábola. Em seu caso mais simples, a parábola tem como equação y2 = 2px.

As equações da elipse, da hipérbole e da parábola foram obtidas para o caso particular em que os eixos das coordenadas são os eixos de simetria da cônica que as originou (a parábola tem um só eixo de simetria, que é tomado como o eixo dos x; nesse caso, supõe-se que a curva passa pela origem). Se a cônica não tem esses eixos como referência, sua equação tem a forma já assinalada anteriormente

Ax2 + Bxy~+ Cy2 + Dx~+ Ey~+ F~= 0

Mediante uma translação e uma rotação dos eixos de coordenadas, pode-se transformar esta equação em outra, de forma reduzida.

Veja também:
Geometria Analítica
Geometria Descritiva
Geometrias Não-Euclidianas

     
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