Os números naturais são definidos como as noções ou entidades matemáticas inteiras que denotam quantidades de elementos presentes num grupo ou conjunto definido (1, 2, 3, 4,...). O zero, ou ausência de objetos num conjunto, não era em geral aceito como número antes do século XIII. Em matemática, o conjunto de todos os números naturais é simbolizado por e, quando exclui o zero, por .

A primeira extensão do conceito de número deveu-se principalmente a uma dificuldade operatória. A subtração é definida como a operação inversa da adição. Dados dois números quaisquer, é sempre possível adicioná-los e encontrar sua soma. O mesmo não acontecia com a subtração, nos casos em que o subtraendo era maior que o minuendo. Para tornar geral a operação, definiu-se o conceito de número negativo, ou seja, menor que zero. O campo dos números naturais acrescido do campo dos números negativos constitui o conjunto dos números inteiros, representado pelo símbolo .

Ao incluírem-se na álgebra dos números inteiros as operações de multiplicação e divisão, surgiram certas relações ou proporções entre números, conhecidas como frações. O conjunto acrescido dos números fracionários forma o conjunto dos números racionais, simbolizado por . As frações matemáticas apresentam importantes propriedades, pesquisadas por muitos sábios da antiguidade e aplicadas ao estudo da proporcionalidade dos lados de triângulos e de outras figuras geométricas, como se pode verificar pela perfeição arquitetônica dos monumentos das civilizações grega e egípcia. Quando se soluciona uma fração, isto é, se efetua a operação de divisão correspondente, o resultado pode ser um número inteiro, ou um número que apresenta uma parte não inteira (aquela que se segue à vírgula ou ao ponto decimal) com uma quantidade finita de algarismos, ou ainda um número decimal que apresenta um algarismo ou um grupo de algarismos (chamado período) que se repete indefinidamente.

O conjunto dos números se ampliou notavelmente após a concepção de valores decimais que não têm período, ou seja, que não resultam da divisão de números inteiros. É o que ocorre, por exemplo, com etc. O número (3,141592...), relação entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, também não pertence ao conjunto dos números racionais, e o mesmo acontece com e (2,71828...), de grande importância no cálculo infinitesimal, que foi desenvolvido a partir do século XVII. Da mesma maneira que as raízes quadradas mencionadas, ambos possuem infinitas casas decimais que não se repetem periodicamente. Tais números são denominados irracionais. Chama-se conjunto dos números reais aquele que inclui os racionais e irracionais. É representado por .

Outra dificuldade operacional conduziu a nova extensão no conjunto dos números: não existe, entre os reais, um número que seja raiz quadrada de um número negativo, isto é, que elevado ao quadrado dê um resultado negativo. Os números cuja raiz de índice par não pode ser resolvida dentro do conjunto real (por exemplo, os números etc.) são ditos, portanto, imaginários. A unidade escolhida para o conjunto imaginário é o número , com o que

Por serem os valores imaginários inteiramente distintos dos números reais, definiu-se um conjunto maior que engloba ambas as categorias: o conjunto dos números complexos, simbolizado por . Cada número complexo é a soma de uma parte real e outra imaginária, e representado por um par ordenado (a,b) onde a e b são números reais, sendo b o coeficiente da unidade imaginária i. Dada a fórmula geral dos números complexos (a + bi), os números reais podem ser entendidos como números complexos cuja parte imaginária é nula (b = 0), e os números imaginários como aqueles complexos cuja parte real é nula (a = 0). Os números complexos são empregados não só na matemática pura (teoria das equações e teoria das funções) como também na descrição e resolução simplificada de problemas físicos.

Veja também:
Bases Numéricas
Teoria dos Números