Estudante de Filosofia

Teoria dos Números

A história da teoria dos números é repleta de célebres problemas, entre os quais a equação diofenatina de forma xn + yn = zn, inicialmente proposta e estudada por matemáticos gregos e, mais tarde, no século XVII, por Pierre de Fermat. Segundo o "teorema de Fermat" (na verdade, uma conjetura, pois o matemático não apresentou sua demonstração), a equação não apresenta solução inteira para valores de n superiores a 2. As tentativas de provar o teorema levaram ao desenvolvimento de campos importantes da matemática e a criação do conceito de números algébricos -- números complexos que são raízes (ou soluções) de equações polinomiais com coeficientes inteiros. Tais equações podem possuir diversas variáveis, como é o caso da equação diofantina, de variáveis x, y, z, ou uma única variável, quando assumem a forma

Axn + Bxn-1 + Cxn-2 + ... + Rx2 + Sx + T = 0,

onde tanto n como os coeficientes A, B, C etc. são números inteiros.

Os números não-algébricos, isto é, aqueles que não constituem solução de nenhuma equação polinomial de coeficientes inteiros, são chamados transcendentes. Entre eles, e e têm especial importância. Matemáticos como Charles Hermite e Ferdinand von Lindemann analisaram, no final do século XIX, as propriedades de tais números e, na mesma época, Georg Cantor demonstrou que, num sentido de certa forma natural, quase todos os números podem ser classificados como transcendentes.

Muitos problemas da teoria dos números estão relacionados com números primos -- os inteiros maiores que 1 e divisíveis apenas por si mesmos e pela unidade. O conjunto dos números primos é infinito (2, 3, 5, 7, 11, ...). Os números inteiros não primos (4, 6, 8, 9, 10, 12, ...) são chamados de compostos e podem ser expressos sob a forma de um produto de fatores primos. Muitos tratados foram escritos sobre números primos, dentre os quais a chamada expressão de Fermat, que afirmou, sem contudo demonstrá-lo, que todos os valores resultantes da operação 22n + 1, com n inteiro, são primos. Esta conjetura foi refutada por Leonhard Euler para n = 5. Depois comprovou-se que a expressão é falsa para valores de n entre 5 e 16, o que colocou em dúvida a existência de números primos que obedeçam a essa fórmula para valores mais elevados de n.

Veja também:
Bases Numéricas
Conjuntos Numéricos

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